Matematik üzerine notlar

[caferali]

…

Matematik insanın soyutlanmış zihninden çıkmamıştır yani karanlık bir odaya geçip zihniyle yalnız kalan bir insanın ürünü değildir. Tam tersi, matematik doğanın gerçekliğiyle birebir bağlantılıdır.

…

“Matematiğin kavramları doğada var mıdır? Bana soyut; tek başına 3 sayısını doğada gösterebilir misin? “

İki ayağı üzerinde yürüyen bir 3 gösteremem ama 3 tane elma gösterebilirim.
Demek ki matematiksel kavramlar insanın doğayı açıklamak için geliştirdikleri kavramlardır. Zihin oyunu değiller.

…

Neden neredeyse tüm dillerde sayılar 10’lu tabanda ifade ediliyor? 1’den saymaya başlayınca 10’a geldikten sonra 11 (10+1), 12 (10+2) diye devam ediyoruz. Sadece Türkçede değil neredeyse tüm dillerde 10’lu taban geçerli.

İnsanların saymaya ilk başladığında ellerinin parmaklarını kullanmalarından dolayı olmasın? İki elin parmakları bittiğinde, o ana kadar saydıklarının üzerine eklenmek üzere tekrar 1’e dönülmüş olmalı. Sayıların oluşturulması dahi sırf zihinsel; dış dünyadan bağımsız değildir.

…

Bazı matematikçiler, matematiğin insan zihninin soyut ürünü olduğunu iddia ederler. Bu yüzden matematiğin ‘ a priori’ (deneylerle kanıtlanamaz ve yanlışlanamaz) doğru olduğunu söylerler. Aynı nedenden ötürü matematiğin kendi içinde mutlak, tutarlı ve değişmez olduğunu da söylerler.

Ancak benim iddiam şu: matematik insanın soyut zihinsel ürünü değildir, doğanın gerçekliği ile bağlantılıdır. İnsan matematiği kendi zihninden değil doğadan çıkarmıştır. Bu yüzden matematik mutlak değildir; yeni bulgular, pratikler, deneyler sonucunda gelişir.
İlk çağ matematikçilerine ‘-1’in karekökünü tanımlamalıyız deseydik her halde bize bunun matematiğe aykırı olduğunu söylerlerdi. Çünkü hangi sayıyı kendisi ile çarparsanız çarpın negatif bir sayıya ulaşamazsınız. Pozitif bir sayının kendisi ile çarpımı pozitiftir, negatif bir sayının kendisi ile çarpımı yine pozitiftir.

Ancak modern matematikte ‘-1’in karekökü olmazsa olmazdır. Bu hayalî (imajiner) sayıyı, matematikle çelişen saçma sayıyı kullanmazsak elektrik devrelerini çözemeyiz, Fourier dönüşümü de olmaz dolayısıyla radyo olmaz, telefon, televizyon ve internet olmaz.

…

Sonsuz tane sayının toplamı sonsuz olmayabilir. Bu kimilerine matematiksel olarak çok saçma gelebilir. Matematiksel olarak ne kadar saçma olursa olsun integral hesabında sonsuz toplamlar kullanılır.

...

“Üçgenin iç açıları 180’dir. Bu değişmez ve mutlak bir matematik yasasıdır ve doğayla hiçbir bağlantısı yoktur, insanın soyut zihinsel ürünüdür.”

Hayır, efenim hiç de öyle değil. İnsan açı kavramını kullanmak zorunda, çünkü doğada açı diye bir şey var. Parmaklarınızı açabildiğiniz kadar açın ve elinize bir bakın. İşaret parmağınızla orta parmağınızın ve işaret parmağınızla başparmağınızın arasındaki açıklığa bakın orada açıyı göreceksiniz.

“Tamam, açı doğada var peki 180 derece olması?”

Türkler ağaca ağaç diyor, İngilizler tree diyor, farslar draht diyor. Bunlar nesnelere verilen isimdir. Açı konusuna dönersek, en büyük açı tam çemberdir ve matematikçiler ona 360 demişler. Diğer açılar bu en büyük açıyla kıyaslanır ve dereceleri bulunur.
Ayrıca üçgenin iç açıları toplamı derece olarak 180 olabilir ama başka bir açı ölçüm birimi olan grad olarak 200’dür. Çünkü grad, tam çemberi 400 birime böler.

…

Matematik doğayı modeller, bu yüzden matematiğe ‘bilimin dili’ denir.
…

“2x2=4… bunu bana ispatlayabilir misin? İspatlayamazsın çünkü bu soyut insan zihninin ürettiği bir ön kabuldür.”

Bir eline 2 bilye al, diğer eline de 2 bilye al. Ne oldu? 2 tane 2… Şimdi hepsini topla. Al sana 2x2=4 ün ispatı…
…

“Matematik icat mıdır keşif midir?”

İcat olan ne var ki? Bütün bilimsel gelişmeler, insanın doğayı izlemesi ve işleyişinin yasalarını bulmasıyla gerçekleşmiştir. Bilimi ve bilimi kullanarak üretilen teknolojiyi insan kendi soyut gücüyle yaratmamıştır.

Ama öte taraftan bakarsak matematik evrensel bir dildir. Diller ne kadar icatsa matematik de o kadar icattır.
…

“Bir sürü matematikçi bir sürü gereksiz teorem üretmiş bir sürü kural bulmuş. Biz bunları niye öğreniyoruz. Değerli vaktimizi neden sinüsle kosinüsle, olmayan hayali sayılarla harcıyoruz? Bize telefon nasıl yapılır, televizyon nasıl yapılır onu öğretsinler.”

Benim saf kardeşim. İmajiner sayılar olmasa, Fourier transformu olmasa, Gauss, Maxwell denklemleri olmasa değil cep telefonu yapmak, bir ampülü bile yakamazdın.

…

“F=m.a (bir cisme etkiyen kuvvet, o cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir, dolayısıyla üzerinde hiçbir kuvvet uygulanmayan bir cisim sonsuza kadar sabit hızla hareketine devam etmelidir)

teorisi pratik ile çelişiyor. Çünkü ben bir cisme ilk hareket verdim sonra üzerinde hiçbir kuvvet uygulamadım. Ama cisim bir süre sonra durdu. Demek ki teori ile pratik birbiriyle çelişti. Aslında teori ile pratik hiçbir zaman birbirini tutmaz. Teori soyut insan zihninin ürünü, pratik ise gerçeğin ta kendisidir.“

Önce teorinin uygulanışına doğru bakmak lazım. Cismin duracağı belli. Ama bu da teoride öngörülmüş. Çünkü sürtünme kuvveti diye bir şey var. Cisme negatif ivme veren de cismin hareketine ters yöndeki bu sürtünme kuvvetidir. Ve pratik teori ile uyumludur.
Diğerine uyması gereken şey pratik değil teoridir. Teori insanın zihninden uydurduğu bir şey değil pratiğin belirli koşullarda sadeleştirilerek ifade edilmiş halidir.

…

[kaşif]

her insanın belli düzeyde matematik bilmesi gerekli diye düşünüyorum..çünkü insana mutlaka olması gereken bir bakış açısı kazandırıyor

notlar güzel

bir ara aklımı kurcalayan bir soru şuydu.. hala kurcalar:

duvarla aranızdaki mesafe 1 metre olsun..topu duvara doğru yuvarladınız..burda basit birşeyi kabul edersiniz heralde o da şudur: top gideceği yolun önce yarısını geçer değil mi? yani gideceği mesafe toplam 1 metre..top giderken 30. cm e geldiğinde yolun yarısını katetmiştir..sonra kalan yolun yarısını geçer ..sonra kalan yolun yarısını ...topun bu şekilde yol aldığını düşünün..gidilen yolun hep yarısı...
sonuç?top duvara ulaşırmı?normal fiziğe göre ulaşmaz..

ispatı

kabulülümüz şuydu:top hep kalan mesafenin yarısını gider(alttaki rakamlar daima 2 ye bölünmüştür)

ilk mesafe: duvara 1 metre var top yarısını gitti
kalan:30 cm ..top yarısını gitti
kalan:15 cm
kalan:7,5cm
kalan:3,75cm
kalan:1,875cm
kalan:0,9375cm
.
.
.
.
sonuç git gide 0 a yaklaşır fakat asla sıfır olmaz..bu işlemi hesap makinesiyle istediğiniz yere kadar götürebilirsiniz..mm ve daha küçük boyutlara gelinir fakat kalan mesafe hiçbir zaman 0 olmaz..yani top duvara asla ulaşmaz:))öle ya ..kalan yolun hep yarısını gidiyor..yukarıda ki örnektede görüldüğü gibi kalan yol hiç bitmiyor..devamlı ikiye bölün bakalım bitecekmi:)

[hece]

1 metrenin yarısını nasıl 30 cm hesaplayabildiğini anlamadım. birde senin yazdmış olduğun gibi "sonra kalan yolun yarısını geçer". yani sıfıra yaklaşmakla kalmaz sıfıra gelir ve belkide geçer. o da topun duvardan sekmesidir. gayet doğal. bence burada kelime oyununa kurban gitmişsin :)

[caferali]

her insanın belli düzeyde matematik bilmesi gerekli diye düşünüyorum..çünkü insana mutlaka olması gereken bir bakış açısı kazandırıyor

notlar güzel

bir ara aklımı kurcalayan bir soru şuydu.. hala kurcalar:

duvarla aranızdaki mesafe 1 metre olsun..topu duvara doğru yuvarladınız..burda basit birşeyi kabul edersiniz heralde o da şudur: top gideceği yolun önce yarısını geçer değil mi? yani gideceği mesafe toplam 1 metre..top giderken 30. cm e geldiğinde yolun yarısını katetmiştir..sonra kalan yolun yarısını geçer ..sonra kalan yolun yarısını ...topun bu şekilde yol aldığını düşünün..gidilen yolun hep yarısı...
sonuç?top duvara ulaşırmı?normal fiziğe göre ulaşmaz..

ispatı

kabulülümüz şuydu:top hep kalan mesafenin yarısını gider(alttaki rakamlar daima 2 ye bölünmüştür)

ilk mesafe: duvara 1 metre var top yarısını gitti
kalan:30 cm ..top yarısını gitti
kalan:15 cm
kalan:7,5cm
kalan:3,75cm
kalan:1,875cm
kalan:0,9375cm
.
.
.
.
sonuç git gide 0 a yaklaşır fakat asla sıfır olmaz..bu işlemi hesap makinesiyle istediğiniz yere kadar götürebilirsiniz..mm ve daha küçük boyutlara gelinir fakat kalan mesafe hiçbir zaman 0 olmaz..yani top duvara asla ulaşmaz:))öle ya ..kalan yolun hep yarısını gidiyor..yukarıda ki örnektede görüldüğü gibi kalan yol hiç bitmiyor..devamlı ikiye bölün bakalım bitecekmi:)

Buna Xenon (zenon) paradoksu diyorlar. Atılan bir okun asla hedefine ulaşmayacağını iddia etmiş ve buna dayanarak hareket yoktur sonucuna varmış.
İşte doğadan kopuk, saf insan aklıyla sonuçlar bulmaya kalkkarsak nasıl yanılacağımızın bir ispatı. Hareket var, ok hedefe saplanıyor ama adam mantıksal-matematiksel çıkarımlarına dayanarak hareketin bir yanılsama olduğunu iddia ediyor.

Xenon zamanında matematikte limit, süreklilik, integral gibi kavramlar yoktu.
Biz bu problemi sonsuz seriler yardımıyla çözebiliriz.

şimdi yol 1 metre olsun. aldığı yol toplamda şöyle olur:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....

bu böyle sonsuza kadar gider. payda sonsuza geldiğinde sonuç 0'dır. çünkü '1/sonsuz' 0 (sıfır) eder.

bu serinin toplamını başında 1 olan

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 0'dan sonsuza kadar 1/2^n toplamı

bu seri yardımıyla bulabiliriz.

bu serinin topamı 1/(1-1/2) yani 2 dir. Bizim serimiz bunun 1 eksiği yani 1. demek ki ok tam 1 metre yol almış olur.

[azimli]

bizim soyut matematik hocasıda sayılaırın çıkışını şöyle izah etmişti eski çağlarda bir adamın bir sürü koyunu varmış, koyunlar her akşam ahıra girerken adamda yanına yığdığı bir öbek taştan her koyun için bir tane yan tarafa koyarmış.sabah ahırdan çıkartırkende tersini yaparmış. böylece doğal sayıları bulmuş.

[kaşif]

1 metrenin yarısını nasıl 30 cm hesaplayabildiğini anlamadım

puhaha sorma.. bazen metreyle saati karıştırıyorum, ama heralde demek istediğim anlaşılmıştır

birde senin yazdmış olduğun gibi "sonra kalan yolun yarısını geçer". yani sıfıra yaklaşmakla kalmaz sıfıra gelir ve belkide geçer. o da topun duvardan sekmesidir. gayet doğal. bence burada kelime oyununa kurban gitmişsin

kurban gittiğimi düşünüyorsan kalan mesafeyi ikiye bölerken dikkatli ol derim:) mikroskobik boyutlara geliyorsun..dediğin doğru ve teknik izahı da caferaliniki gibi


teşekkür ederim caferali.. açıklamanda önemsiz bir ayrıntı hariç anladım

"dr echonun şaşırtıcı serüenleri" ve "bunu ancak dr echo çözer" adlı kitapları (ikiside tübitak yayınlarından) fizik ve matematik ilgilelirine tavsiye ederim..içindekileri çözerseniz ne ala (baya zor ve gıcık) yok çözemesseniz de hikaye gibi okumuş geçmiş olursunuz ki

[nosferatu]

sayılar çok ilginç.

bazen oluşturdukları goruntuyle gozume muhtesem gorunuyorlar.

bazen aynı goruntu gozume sıradan ve kotu olarak gorunuyor.

bunun uzerine bir de offffffff.

[katre]

Matematiğin doğayla yakından uzaktan alakası olmadığını düşünüyorum.Doğada üçgen yoktur,prizma yoktur,kare yoktur,üç,iki beş yoktur,sıfır yoktur.(daire var bi tek benim aklıma gelen güneşin ve ayın şekli) Hem sıfır ne demek bir kere.. Yokluk. Sıfırı nasıl tanımlayabiliriz ki doğada ??? Burda iddia edilen "üç" elmadaki üçün elmayla bi ilintisi olmayan üçtür. Aslında gösterdiğin elmadan ibarettir.Diğer yazılanlarlada ilgili onları çürütebilecek,mantıklı bulmadığım bir çok yönü sıralayabilirim ama şu an uğraşmak istemiyorum işin gerçeği.Bir tek sayıların niye onlu tabanda sayılması açıklamasına katılırım ama.

Bir sürü matematikçi bir sürü gereksiz teorem üretmiş bir sürü kural bulmuş. Biz bunları niye öğreniyoruz. Değerli vaktimizi neden sinüsle kosinüsle, olmayan hayali sayılarla harcıyoruz? Bize telefon nasıl yapılır, televizyon nasıl yapılır onu öğretsinler.”

Benim saf kardeşim. İmajiner sayılar olmasa, Fourier transformu olmasa, Gauss, Maxwell denklemleri olmasa değil cep telefonu yapmak, bir ampülü bile yakamazdın.

İşte yarama tuz basılan bölüm!!Ben niye uğraşıyorum ya.Gitsin tv yi yapacak ,radyoyu yapacak olan mühendis öğrensin,binayı yapacak mimar öğrensin.

Ama malesef bizim gibi üçüncü dünya ülkelerinde matematik önemlidir en başta ,yabancı dil ve anadil önemlidir bir de.Diğer dersler kontrgerilla.Sevsende sevmesen de ,istesen de istemesen de matematik bilmek,ezberlemek zorundasındır.İşte bu zorunluluk yüzünden zeki ,çevik ve ahlaklı türk öğrencilerinin büyük çoğunluğu matematikten nefret eder.Acı ama gerçek.

[Misanthrope]

Ama malesef bizim gibi üçüncü dünya ülkelerinde matematik önemlidir en başta ,yabancı dil ve anadil önemlidir bir de.

Matematik bizde hakkaten önemli olsaydı 3. dünya ülkesi olmazdık zaten. Gelişmiş ülkelere fason üretim yapmayı başarı sayar bir konumdayız. Rekabetçi olmak bir yana...
Bence de herkes öğrenmesin ama öğrenen de adam gibi öğrenmeli. Bilim ve matematik kafaya vura vura öğretilir bizde ama bunun meyvesi toplanmaz pek. toplayabilecek kişiler de yurtdışına giderler ki, sonuna kadar haklılar.

[caferali]

Matematiğin doğayla yakından uzaktan alakası olmadığını düşünüyorum.Doğada üçgen yoktur,prizma yoktur,kare yoktur,üç,iki beş yoktur,sıfır yoktur.(daire var bi tek benim aklıma gelen güneşin ve ayın şekli) Hem sıfır ne demek bir kere.. Yokluk. Sıfırı nasıl tanımlayabiliriz ki doğada ??? Burda iddia edilen "üç" elmadaki üçün elmayla bi ilintisi olmayan üçtür. Aslında gösterdiğin elmadan ibarettir.Diğer yazılanlarlada ilgili onları çürütebilecek,mantıklı bulmadığım bir çok yönü sıralayabilirim ama şu an uğraşmak istemiyorum işin gerçeği.Bir tek sayıların niye onlu tabanda sayılması açıklamasına katılırım ama.

yani nasıl anlatsam bilmem ki.. şöyle söyliyim. 3 tane sepet düşün. birinin için 1 elma diğerinde 2 elma ötekinde ise hiç elma yok.
şimdi bu sepetleri hiçbir insan ya da bilinçli hiçbir varlık görmemiş ve bilmiyor olsun.
ama yine de birinde 0, diğerinde 1, ötekinde 2 elma vardır.
insan sayılara isim vermeseydi nesnel durum yine değişmeyecekti.
Bir sepetin içinde elma olmama durumu insan zihninden bağımsız olarak, nesnel hakikat olarak vardır ve insan buna matematiksel olarak '0' demiştir.

İşte yarama tuz basılan bölüm!!Ben niye uğraşıyorum ya.Gitsin tv yi yapacak ,radyoyu yapacak olan mühendis öğrensin,binayı yapacak mimar öğrensin.

Ama malesef bizim gibi üçüncü dünya ülkelerinde matematik önemlidir en başta ,yabancı dil ve anadil önemlidir bir de.Diğer dersler kontrgerilla.Sevsende sevmesen de ,istesen de istemesen de matematik bilmek,ezberlemek zorundasındır.İşte bu zorunluluk yüzünden zeki ,çevik ve ahlaklı türk öğrencilerinin büyük çoğunluğu matematikten nefret eder.Acı ama gerçek.

matematiği öğrenmek zor değil ezberlemek zordur. bizde matematik ve diğer bilimler öğretilmez ezberletilir.
neyin ne olduğunu bilmeden bulmaca çözer gibi, birinin uydurduğu oyunu çözer gibi, matematik ya da fizik sorusu çözen gençler yetiştirmenin hiçbir faydası yok.

[azimli]

Matematiğin doğayla yakından uzaktan alakası olmadığını düşünüyorum.Doğada üçgen yoktur,prizma yoktur,kare yoktur,üç,iki beş yoktur,sıfır yoktur.(daire var bi tek benim aklıma gelen güneşin ve ayın şekli) Hem sıfır ne demek bir kere.. Yokluk. Sıfırı nasıl tanımlayabiliriz ki doğada ???

silindir bir ağaç prizmadır, üçgen bir göl bir bulut bir taş pekala bulunabilir.

sonra sıfırın tanımına gelince;
arabası olmayan biri benim sıfır arabam var veya elinde elma olmayan biri benim sıfır elmam var diyebilir ve doğrudurda.

[hece]

bkz. "sözelci zihniyeti"

[mahsunkul]

bkz. "sözelci zihniyeti"

baktım
ama bi şey göremedim:))

[caferali]

bkz. "sözelci zihniyeti"

bkz: materyalist (bilimsel, bilinebilirci) dünya görüşü ile idealist (bilimsel olmayan, bilinemezci) dünya görüşünün çatışması...

[sıkıfobik]

bkz. "sözelci zihniyeti"

bkz: materyalist (bilimsel, bilinebilirci) dünya görüşü ile idealist (bilimsel olmayan, bilinemezci) dünya görüşünün çatışması...

bknz: hayatı saçma sapan kalıplara sokan zihniyet