İnsan davranışlarının oyunlar yoluyla açıklanabileceği fikrini ilk düşünen Macaristan doğumlu büyük matematikçi John von Neumann oldu. Onun 1928'te yazdığı bir makale yolu açtı.
Sonra 1944'te Oskar Morgenstern ile John von Neumann'ın birlikte yazdıkları 'Oyunlar Teorisi ve Ekonomik Davranış' kitabı çıktı. Kitapla birlikte konu çok kısa zamanda üniversitelere ders olarak da girdi. Artık özellikle matematik bölümlerinde 'Oyunlar Teorisi' dersleri açılmıştı.
Ancak von Neumann ile Morgenstern'in kitabının üçte biri toplamı sıfır olan iki kişilik oyunlarla ilgiliydi. İkiden fazla oyuncusu olan oyunlarla ilgili bölüm yine kitapta geniş yer tutuyordu ama tamamlanmamıştı ve bu çeşit oyunlar için bir çözüm olduğu kanıtlanmamıştı. Kitabın son 80 sayfası ise toplamı sıfır olmayan oyunlara ayrılmıştı ve von Neumann bu çeşit oyunları da aslında bir anlamda toplamı sıfır oyunlara çevirmeyi deniyordu.
Elbette von Neumann gibi efsanevi bir ismin yazdığı kitapta bu kadar çok açık olması, genç ve hırslı matematikçilere büyük bir meydan okuma şansı yaratıyordu. John Forbes Nash Jr. bu meydan okuyanların en iyisiydi! (Kaynak1)
Yani araştıranların önce John von Neumann’dan başlaması gerek. (Julia’nın notu)
Toplamı “Sıfır” Olan Oyunlar Ne Demek?
Oyuna katılanlardan bir tarafın kaybı, öteki tarafın kazancına eşit. Bunun en basit örneği futbol. Sizin takım 1-0 galipse, öteki takım da 1-0 mağlup demektir. Lig puan çetveli tablosunda atılan ve yenen golleri toplarsanız birbirine eşit çıkarlar. Bu çeşit oyunlar mutlak bir zafer ya da mutlak bir yenilgi yarattığı için 'oyun' kavramının özünü oluştururlar belki ama gündelik hayatta, özellikle de insan ilişkilerinde ve ekonomide bu oyunlara pek az rastlanır. (Kaynak1)
Genel olarak oyunları toplamı sıfır olan oyunlar ve toplamı sıfır olmayan oyunlar diye ikiye ayırmak mümkün. Örneğin futbol, toplamı sıfır olan bir oyun. Bir takım diğerini 1-0 yendiğinde, diğer takım da 0-1 yenilmiş oluyor. Yenilgi ile yenginin toplamı sıfır. Benzer biçimde poker de toplamı sıfır olan bir oyun. Oyuna giren para miktarının toplamı, kazanan ve kaybeden oyuncuların önündeki para miktarının toplamına eşit, yani sonuç sıfır. (kaynak2)
Von Neumann'ın 1928'deki makalesi ve daha sonra Norveçli iktisatçı Morgensten'le birlikte 1943'te yayımladıkları kitap, toplamı sıfır olan oyunlar meselesini büyük ölçüde çözüyor ama toplamı sıfır olmayan oyunları çözmüyordu. Bugün bildiğimiz anlamıyla oyun teorisi, aslında iki teoreme dayanır. Bunlar, Von Neumann'ın 1928 tarihli minimum-maximum teoremi ile Nash'e Nobel kazandıran 1950 tarihli denge teoremi. (kaynak2)
Nash, oyuncuların kendi aralarında işbirliği yaptıkları ve yapmadıkları oyunlar arasına ciddi bir mesafe koyar. Von Neumann'ın teoreminin gerçek hayatla pek bir ilgisi yoktur. Oysa Nash'in teoremi, tamamen gerçek hayatı izaha yöneliktir. Bu sayede Nash'in teoremi siyasetten ekonomiye, biyolojiden başka alanlara kadar pek çok yerde uygulamaya girdi. (kaynak2)
Tutuklunun Açmazı (Mahkum Teoremi) (Kaynak3)
Oyunlar Teorisi, esas olarak iki teorem üstüne kurulu. Bunlardan birincisini, yani min-max teoremi adıyla bilinen teoremi, geçen yüzyılın bir başka önemli matematikçisi John von Neuman geliştirdi.
İkincisi ve çok daha önemlisini ise Nash geliştirdi. Buna da 'Nash Dengesi' deniyor.
Nash dengesiyle ilgili teorem hemen dönemin en iyi beyinleri tarafından test edildi. Bu testlerden biri için geliştirilen 'oyun'lardan birinin adı 'Tutuklunun açmazı'ydı. Bu oyunu, Nash'in doktora hocası Al Tucker icat etmişti.
<u>Oyun şöyleydi: </u>
Aynı suçtan ötürü iki kişi tutuklanır ve ayrı ayrı odalarda sorgulanır. Her tutukluya
üç seçenek verilir:
1. İtiraf etmek,
2. Ötekini suçlamak,
3. Sessiz kalmak.
Tutuklu açısından en iyi seçenek itiraf etmektir. Eğer öteki tutuklu da itiraf ederse, en azından çok ağır bir ceza almaktan kurtulacaktır, yok öteki sessiz kalırsa yegâne tanık olarak cezadan da kurtulabilecektir. Yani, itiraf 'baskın strateji'dir. Ama işe bakın ki, eğer birlikte olsalar, ya da işbirliği yapabilseler, her iki tutuklu da kendi iyilikleri için sessiz kalacaktı.
Yani, işbirliksiz (non-cooperative) oyundaki baskın (dominant) strateji ile işbirlikli oyundaki baskın strateji birbirinden epey farklıydı. 'Tutuklunun açmazı' oyunu, Nash'in denge kavramıyla çelişiyordu. Çünkü Nash, her oyuncunun kendi en iyi stratejisini izleyeceğini, çünkü öteki oyuncuların da öyle yapacağını varsayar. Oysa oyun bunun illa ki böyle olmayacağını gösteriyordu.
Sovyetler Birliği ile Amerika arasında o zamanlar en hızlı zamanlarını yaşayan silahlanma yarışı, 'Tutuklunun açmazı'na gösterilebilecek en iyi örnek aslında. İki ulus da, eğer işbirliği yapsalar ve yarışı bıraksalar kendileri için çok daha iyi olacaktı. Ama her ikisi için de baskın strateji sonuna kadar silahlanmaktı.
Evet, Oyunlar Teorisi, sadece ekonomide değil, pek çok alanda kullanılacaktı.
İkinci Dünya Savaşı, tarihte bilim adamlarının en çok doğrudan katkıda bulunduğu savaştı. Sadece matematikçilerin ve fizikçilerin değil bütün bilim dallarının katkısı gerekti savaşı kazanmaya. Bilim savaşın sonucunu değiştirdiği gibi savaş da bilimin kaderini ve ilerlemesini değiştirip yönlendirdi. O yılların mantığını da iyi anlamak gerekir. Matematik her şeydir, her sorunun cevabıdır o yılların inancında. Yeterince iyi hesaplarsanız, her şeyi matematiksel olarak izah edebilirsiniz yani. Oyunlar Teorisi'nin Nash tarafından 1950'lerin başlarında tamamlanmasıyla birlikte bu son inanç iyice yerleşti.
Oyunlar Teorisi, askeri konulardan sosyal bilimlere, ekonomiden biyolojiye kadar pek çok alanda uygulandı. Nash, teorisinin bir bölümünü yaz aylarında çalıştığı RAND şirketinde tamamladı. RAND, Amerikan ordusunun bilimsel araştırma ihtiyacını karşılamak üzere silah üreticileri tarafından kurdurulmuş bir bilim şirketiydi. O yılların atmosferi, RAND'in hâlâ kendini koruyan gücü ve ilişkileri, Nash'in ve diğer matematikçilerin katkıları sadece bilim dünyasını değil edebiyat ve sinemayı da etkiledi.
Nash Dengesi
Poker tarzı oyunlardaki kısır bir döngü gibi uzayıp giden fikir yürütme biçimini Nash bir döngü olmaktan çıkartıp bir kare gibi düşünmeyi önerdi. Nash'ın önerisi tam olarak şuydu: Bütün oyuncuların kendine göre en yüksek kazancı getirecek bir stratejisi var ama bu 'dominant strateji' oyundaki yegane oyuncu o olmadığı için uygulanamaz, o yüzden de bir 'denge' durumuna razı olunur. Şimdi okuyunca çok basit gözüktüğüne eminim ama bu, gerçekten büyük bir fikri sıçramayı ifade ediyordu ve bu sıçramayı bulan insan da bir 'dâhi'ydi. (kaynak1)
Nash dengesi stratejisi bir oyuncunun karşısındaki oyuncunun oynayacağını düşündüğü stratejiye karşı kendisi açısından en iyi strateji. Nash dengesi stratejisi seçildiğinde de kimse o dengeden başka bir yere gitmek istemiyor. İşte Nash ağır matematik kullanarak, böyle bir dengenin çoğu şartlarda mevcut olduğunu ispat ederek, von Neumann'ın yaklaşımını genelleştirmiş, çözüm üretmiş ve denge kavramını yerleştirmişti. Böylece de oyun teorisinin bir sürü alanda kullanımının yolunu açmış ve Nobel'i hak etmişti. Bugün Nash dengesi ekonomi dışında biyoloji ve siyaset bilimi gibi son derece farklı alanlarda kullanılabilen önemli bir kavram. (Kaynak4)
Bir örnek (kaynak5)
Nash dengesinin sade mantığını bilinen bir örnek üstünde izleyelim. OPEC bir petrol fiyatı tesbit etmiş. O fiyatı tutturmak için gerekli üretim kotalarını da ülkelere dağıtmış. Arz, talep ve fiyat birbiri ile tutarlı varsayalım.
Şimdi petrol ihracatçısı ülkelerden birinin üretimini kota üstüne çıkartmaya karar verdiğini düşünelim. Diğerleri kotaya sadık kalsın. Ne olur? Arz artacağından petrol fiyatı düşer.
Üretimini arttıran ülkenin petrol geliri yeni fiyatla düşüyorsa, piyasa Nash dengesindedir. Çünkü bu durumda dengeyi bozma üreticilerin işine gelmemektedir. Üretim maliyeti fiyatın üstünde olmasına rağmen piyasada dengeyi bozucu davranış olmamaktadır.
Eğer üretimini artıran ülke yeni fiyattan daha fazla petrol geliri elde ediyorsa piyasa Nash dengesinde değildir. Çünkü dengeden sapmadan kârlı çıkan üretici vardır. O fiyat ve üretim kotaları tutunamaz.
Kavramın uygulamada bir işe yarayıp yaramadığı tartışmalıdır. Ama iktisat teorisini eksik rekabetle ilgili mahcubiyetten kurtardığı kesindir. Ekonominin işine yaramasa da iktisatçılara ilaç gibi gelmiştir. (Kaynak5)
Modellerle Düşünmek (kaynak6)
Nash'in önemli katkılarıyla gelişen oyun teorisi, modellemeye dayalı bir teori
olduğu için önce sosyal bilimlerde modellerle düşünme hakkında bir iki noktaya
değinmekte yarar var. Akademik yaşamın bazı alanlarında, örneğin stratejik yönetim dalında, modellerle düşünmeye karşı bir aşk-nefret ilişkisi olduğu söylenebilir. Modelleme
karşıtlarına göre dünya modellerle anlaşılamayacak kadar karmaşıktır.
Ancak, modelleme yanlıları tanım itibarıyla modelin gerçeğin basitleştirilmiş hali olduğunu vurgular: Modelin, bazı ayrıntıları devre dışı bırakması kaçınılmazdır. Modellerle düşündüğünüzde, en azından varsayımlarınızı ve sonuçlarınızın hangi sınırlar içerisinde geçerli olduğunu, esnekliğini bilirsiniz. Üstelik, pek çok düşünce açıkça ifade edilmese de içinde saklı bir model barındırır.
Bazı araştırmacılara göre de, eğer gerçek karmaşıksa, yapılması gereken modelleri terk etmek değil, modelleri bu karmaşıklığı açıklayabilecek düzeye getirmektir. Modelleme karşıtları, bu kez ortaya çıkan karmaşık modellerin bize kazandırdığı ek bilgi düzeyinin göreceli faydasını sorgular. Örneğin, sayfalarca matematiksel modelleme içeren bir makalenin, 'demek ki teknoloji önemlidir' gibi bariz bir sonuca varması bir 'keçiboynuzu' hissiyatı yaratabilir bu yaklaşıma göre. Bu tartışmalar, akademik çevrelerde daha uzun yıllar devam etmeye aday görünüyor. Modellemeye dayalı olan oyun teorisi, diğer oyuncunun hareketlerini hesaba katma bağlamında satranç/strateji çağrışımları taşıyor. Hem rekabetçi, hem işbirliğine dayalı firma davranışlarını modelleyebilmesi kanımca oyun teorisinin en önemli katkılarından biri.
Örneğin, stratejik yönetim dalı için konuşacak olursak, oyun teorisinin bu özelliği firma davranışlarını daha iyi anlamamızda mevcut diğer yöntemleri tamamlayıcı bir rol üstleniyor. Nash'in kendisine Nobel de getiren önemli katkısı ise işbirliğine dayalı olan ve
olmayan oyunlar arasındaki farkı ortaya koyarak, işbirliğine dayalı olmayan oyunlarda dengeye nasıl varılacağı üzerine önemli yaklaşımlar geliştirmiş olması.
Oyun teorisinin özünü uluslararası işletme derslerinde kullandığımız çok bilinen bir örnekten hareketle açıklamak mümkün. Bu oyun, uçak üretim piyasasına hakim iki şirketin, yani Boeing ve Airbus şirketlerinin, yeni bir uçak piyasaya sürme kararlarının aslında diğer şirketin vereceği karara oldukça bağımlı olduğu gerçeğinden yola çıkar. Eğer yeni bir uçak tipini üretme kararını Airbus ilk verir ve Boeing üretmez ise, başarı durumunda Airbus önemli bir avantaj elde edecektir. Tam tersi bir senaryoda ise Boeing'in avantajı söz konusudur. Her ikisi de aynı uçak tipini üretir ise yeterince kâr
edemeyecekler, her ikisi de üretmez ise göreceli durumları sabit kalacaktır. Bu örneği daha da ilginç kılan nokta, devletin müdahalesinin oyunun bütün kurallarını değiştirebileceği gerçeğidir. Örneğin, Avrupa Birliği'nin Airbus'a vereceği bir sübvansiyon, miktarın büyüklüğüne bağlı olarak, Boeing üretime girsin ya da girmesin, Airbus için üretime geçmeyi her durumda cazip kılabilir.
Her ne kadar,
araştırmacılar söz konusu sübvansiyonun miktarını belirlemenin zorluğu, bu örnekte ABD'nin de Boeing'e bir sübvansiyon vermesi durumunda ortaya çıkabilecek olası bir ticaret savaşı riski gibi tehlikelere işaret etseler de, bu durum devletin firmaların
göreceli rekabet pozisyonlarını etkilemedeki rolünün çarpıcı bir örneği olarak
literatürdeki yerini almıştır. Oyun teorisinin birbirleriyle iletişimleri bulunmayan iki tutsağın suçlarını itiraf etmeleri ya da etmemeleri durumunda ortaya çıkabilecek sonuçların modellendiği klasik örneğinden tutun da, 1962 Küba füze krizi uygulaması ve OPEC üretim kısıtlamalarının modellenmesine dek uzanan, yaşamın içinden pek çok ünlü uygulama örnekleri olduğunu da belirtelim.
Kaynaklar:
1) İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 29.07.2001 tarihli yazısı (http://www.radikal.com.tr/veriler/2001/ ... c92fe69d3b)
2) İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 09.03.2002 tarihli yazısı (http://www.radikal.com.tr/ek_haber.php? ... 2002&ek_ta)
3) İsmet Berkan’ın Radikal Gazetesi, 05.08.2001 tarihli yazısı (http://www.radikal.com.tr/veriler/2001/ ... c92fe69d3b)
4) Deniz Gökçe, Akşam Gazetesi 28.03.2002 tarhi yazısı ( http://www.aksam.com.tr/arsiv/aksam/200 ... lar30.html)
5) Asaf Savaş Akat, Sabah Gazetesi, 28.03.2002 tarihli yazısı (http://www.sabah.com.tr/20020328/w/y02.html)
6) Özlem ÖZ: ODTÜ İşletme Bölümü Öğretim Üyesi, Radikal Gazetesi, 10.03.2002 tarihli yazısı (http://www.radikal.com.tr/ek_haber.php? ... 002&ek_tar)
Oyun(lar) Teorisi Nasıl Doğdu?
Re: Oyun(lar) Teorisi Nasıl Doğdu?
Hayat, toplamı kocaman bir sıfır eden çok bilinmeyenli denklemdir. Kök içinde beşiksküp artı dokuz ye üzeri onaltı artı parantez içinde üç ikskare artı dört ye üzeri üç eksi yedi eşittir sıfır. Hatırlıyorsunuz değil mi bu tür denklemleri. Bu öğrendiklerimiz gerçek hayatta ne işimize yarayacak diye öfkeyle sorardık kendi kendimize. Yıllar sonra anladım ki işe yarıyormuş: Ürkütmeden bizi, korkutmadan, hayatın ta kendisini formüle etmişler, çaktırmadan. Yani uğraşacaksınız üzeri çok koşturacaksınız, parantez içinde yorulacak, çabalayacaksınızın karekökünü alıp bundan geceleri yatağa girmeden önceki yarına dair iyimserliğinizi çıkarıp bir eşittir koyacak ve eşitliğin sağında size alaycı alaycı gülen, hain, ukala bir sıfırı göreceksiniz.
Şizofren matematikçi John Forbes Nash'in yaşamını konu alan Akıl Oyunları bu yılın En İyi Film Oscarı'nı aldı. Macar matematikçi Neumann'ın temelini attığı kuramı genişleterek oyun teorisini ortaya koyan ve bunu kendi adıyla anılan bir denge mantığıyla formüle eden John Nash, bu teorisiyle Nobel Ödülü almıştı.
Oyun Teorisi'ne göre iki türlü oyun vardır: Toplamı sıfır eden ve etmeyen oyunlar. Bana göre ise tek bir oyun vardır ama, ben ne deliyim ne de dahi, sözüme kimse itibar etmez.
Poker toplamı sıfır eden bir oyundur, çünkü bir oyuncunun oyunun her bir aşamasında kaybettiği kadar diğer oyuncu/oyuncular kazanır. Bir taraf artarken diğer taraf aynı oranda eksildiği için oyun sıfırda dengeye gelir. Yani birini seviyorsanız, dengeli bir ilişki için sevilmemeniz gerekir. Oyunun kuralı bu! Deneyimlerinize, etrafınıza bakın. Karşılıksız sevenler hiç mesut olmaz derler. Çünkü eşitlik sıfırda dengelenecektir. Gece ile gündüz arasındaki ilişki yirmidört saat süren bir kovalamaca oyunu gibi düşünüldüğünde, bir günün toplamı da haindir. Birinin karanlık ömrünün birkaç dakika uzaması, diğerinin aydınlığından aynı miktarda çalmak anlamına geldiğinden ukaladır. Ukala ve haindir sıfır.
Biri bir yerde ağlıyorsa, onu sıfıra eşitleyecek, dudağın kenarına istemeye istemeye de olsa yerleşmiş eşitlik sağlayıcı bir gülüş vardır mutlaka.
Günde bilmem kaç kişi doğuyorsa, bunu sıfırla biten demografik bir denkleme acımasızca tamamlayacak mutlak ölümler, ya da aradaki farkı kapatacak kadar yaşayan ölüler vardır.
Elde var sıfır...
John Nash, uzun yıllar boyunca şizofreniyle savaştı ve bir gün yendi. Karısı Alicia'nın ona duyduğu aşkla yendi şizofreniyi. Ama burada da oyunun toplamı sıfırdı çünkü, Alicia, mükemmel bir aşk dopingiyle eşi John'a destek olurken, John onu sevemezdi, şizofrendi çünkü. Aşkın gözü kapalı, ölmeye gönüllü, karşılık beklemeyen savaşçıları, hastalığın amansız askerlerini yendiler. Bu da bir karşılaşmaydı, savaş oyunuydu, çetin bir cephede geçti. Bir taraf ağır ağır, yara ala ala eksilirken bir taraf azimle ilerledi düşman karargahının içindeki sıfıra. Fakat o karargah sıfırının hep söylediğim kadar alaycı, hain olmadığın da eklemeliyim. Hatasını kabullenmiş, utangaç yüzünü merhametsiz elleriyle kapamış bir aşk sıfırıydı o da.
Aşk, o çok bilinmeyenli, her zaman sıfıra eşit olan hayat denkleminin, çözeni en çok uğraştıran en karmaşık birimidir. Parantez içinde ik iks üzeri üç eksi iki ye kare artı üçün kareköküdür aşk. İçinde ne olup bittiğini bir türlü çözemeseniz de sonucunu bilirsiniz. Parmağınıza gürültüyle geçen bir yüzük, hangi rakama benziyor sizce?
Bir artı bir eksi daha sıfır edecek biliyorsunuz artık, bu oyunun kuralı böyle. Sabah uyanıp akşam uyumak için gözünüzü kapadığınızda eşitliğin sağına bir alaycı sıfır daha atmış oluyorsunuz korkmayın. Birinin ardından koşuyorsanız, vektörel toplamlar sıfır olsun diye, o sizden kaçıyor demektir korkmayın, oyun bu. Gündüz olduysa gece yaklaşıyor demektir. Alaycı, hain, ukala, vazgeçilmez kocaman mavi bir sıfıra benziyor dünya, korkmayın. Elde var sıfırı hüznün. "Dönüp dolaşıp geleceksin aynı şehre" sıfırın edebiyattaki kerşılığıdır. Sıfıra sıfır elde var sıfır, korkmayın sakın. Bu bir oyun.
Ölüm, hayat denklemini sıfıra götüren eşittir işareti, aşk eşitliğin solundaki en karmaşık birim, günler denklemin sabit sayıları, kederler, sevinçler, heyecanlar, üslü sayıların üsleri, iks ve ye herhangi iki kişi. Bütün bunlar birbiriyle çarpılır, toplanır, bölünür, çıkarılır ve iks ile ye arasında şaşılacak bir ilişkiyle sürerek tamamlanır bir sıfıra. Gerçek hayatta işimize yaramayacak sandığımğız bir formül, olan biteni nasıl da sezdirmeden , korkutmadan özetlemiş bir bakın. Alicia, hala aşık mı bilmem ama, John şizofren olmadığına göre kurel gereği artık o da aşık olmamalı. Siz kural gereği sıfırda dengeye olacak olan oyunda, eşitliği hangi değerde sağlayacağınız konusunda tedbirli olmayı planlayacaksınız. Ama nafile, değişkenler yerinden oynasa da sonuç değişmeyecek biliyorsunuz artık; aşk da bir oyun ve toplamı haindir.
İşte Nash'in teoreminin, yerini, zamanını ve değerini mutlak bir ifadeyle tanımlayamadığı değişken...
Önemsiz neşelerle tatlandırılmış yaşamak ağrısı, geçici heyecanlarla seyreltilmiş sıkıntı çökeleği, tadımlık gülümsemelerin lezzet verdiği doyurucu bir kederle koşturuyoruz, bize bilinmez kollarını ağız dolusu gülerek açmış bekleyen, kocaman bir sıfıra...
Belli belirsiz kederliyim, yağmur pencerelere kararsız birler çiziyor dışarıda...![[smilie=dinamo.gif]](./images/smilies/dinamo.gif "dinamo")
Şizofren matematikçi John Forbes Nash'in yaşamını konu alan Akıl Oyunları bu yılın En İyi Film Oscarı'nı aldı. Macar matematikçi Neumann'ın temelini attığı kuramı genişleterek oyun teorisini ortaya koyan ve bunu kendi adıyla anılan bir denge mantığıyla formüle eden John Nash, bu teorisiyle Nobel Ödülü almıştı.
Oyun Teorisi'ne göre iki türlü oyun vardır: Toplamı sıfır eden ve etmeyen oyunlar. Bana göre ise tek bir oyun vardır ama, ben ne deliyim ne de dahi, sözüme kimse itibar etmez.
Poker toplamı sıfır eden bir oyundur, çünkü bir oyuncunun oyunun her bir aşamasında kaybettiği kadar diğer oyuncu/oyuncular kazanır. Bir taraf artarken diğer taraf aynı oranda eksildiği için oyun sıfırda dengeye gelir. Yani birini seviyorsanız, dengeli bir ilişki için sevilmemeniz gerekir. Oyunun kuralı bu! Deneyimlerinize, etrafınıza bakın. Karşılıksız sevenler hiç mesut olmaz derler. Çünkü eşitlik sıfırda dengelenecektir. Gece ile gündüz arasındaki ilişki yirmidört saat süren bir kovalamaca oyunu gibi düşünüldüğünde, bir günün toplamı da haindir. Birinin karanlık ömrünün birkaç dakika uzaması, diğerinin aydınlığından aynı miktarda çalmak anlamına geldiğinden ukaladır. Ukala ve haindir sıfır.
Biri bir yerde ağlıyorsa, onu sıfıra eşitleyecek, dudağın kenarına istemeye istemeye de olsa yerleşmiş eşitlik sağlayıcı bir gülüş vardır mutlaka.
Günde bilmem kaç kişi doğuyorsa, bunu sıfırla biten demografik bir denkleme acımasızca tamamlayacak mutlak ölümler, ya da aradaki farkı kapatacak kadar yaşayan ölüler vardır.
Elde var sıfır...
John Nash, uzun yıllar boyunca şizofreniyle savaştı ve bir gün yendi. Karısı Alicia'nın ona duyduğu aşkla yendi şizofreniyi. Ama burada da oyunun toplamı sıfırdı çünkü, Alicia, mükemmel bir aşk dopingiyle eşi John'a destek olurken, John onu sevemezdi, şizofrendi çünkü. Aşkın gözü kapalı, ölmeye gönüllü, karşılık beklemeyen savaşçıları, hastalığın amansız askerlerini yendiler. Bu da bir karşılaşmaydı, savaş oyunuydu, çetin bir cephede geçti. Bir taraf ağır ağır, yara ala ala eksilirken bir taraf azimle ilerledi düşman karargahının içindeki sıfıra. Fakat o karargah sıfırının hep söylediğim kadar alaycı, hain olmadığın da eklemeliyim. Hatasını kabullenmiş, utangaç yüzünü merhametsiz elleriyle kapamış bir aşk sıfırıydı o da.
Aşk, o çok bilinmeyenli, her zaman sıfıra eşit olan hayat denkleminin, çözeni en çok uğraştıran en karmaşık birimidir. Parantez içinde ik iks üzeri üç eksi iki ye kare artı üçün kareköküdür aşk. İçinde ne olup bittiğini bir türlü çözemeseniz de sonucunu bilirsiniz. Parmağınıza gürültüyle geçen bir yüzük, hangi rakama benziyor sizce?
Bir artı bir eksi daha sıfır edecek biliyorsunuz artık, bu oyunun kuralı böyle. Sabah uyanıp akşam uyumak için gözünüzü kapadığınızda eşitliğin sağına bir alaycı sıfır daha atmış oluyorsunuz korkmayın. Birinin ardından koşuyorsanız, vektörel toplamlar sıfır olsun diye, o sizden kaçıyor demektir korkmayın, oyun bu. Gündüz olduysa gece yaklaşıyor demektir. Alaycı, hain, ukala, vazgeçilmez kocaman mavi bir sıfıra benziyor dünya, korkmayın. Elde var sıfırı hüznün. "Dönüp dolaşıp geleceksin aynı şehre" sıfırın edebiyattaki kerşılığıdır. Sıfıra sıfır elde var sıfır, korkmayın sakın. Bu bir oyun.
Ölüm, hayat denklemini sıfıra götüren eşittir işareti, aşk eşitliğin solundaki en karmaşık birim, günler denklemin sabit sayıları, kederler, sevinçler, heyecanlar, üslü sayıların üsleri, iks ve ye herhangi iki kişi. Bütün bunlar birbiriyle çarpılır, toplanır, bölünür, çıkarılır ve iks ile ye arasında şaşılacak bir ilişkiyle sürerek tamamlanır bir sıfıra. Gerçek hayatta işimize yaramayacak sandığımğız bir formül, olan biteni nasıl da sezdirmeden , korkutmadan özetlemiş bir bakın. Alicia, hala aşık mı bilmem ama, John şizofren olmadığına göre kurel gereği artık o da aşık olmamalı. Siz kural gereği sıfırda dengeye olacak olan oyunda, eşitliği hangi değerde sağlayacağınız konusunda tedbirli olmayı planlayacaksınız. Ama nafile, değişkenler yerinden oynasa da sonuç değişmeyecek biliyorsunuz artık; aşk da bir oyun ve toplamı haindir.
İşte Nash'in teoreminin, yerini, zamanını ve değerini mutlak bir ifadeyle tanımlayamadığı değişken...
Önemsiz neşelerle tatlandırılmış yaşamak ağrısı, geçici heyecanlarla seyreltilmiş sıkıntı çökeleği, tadımlık gülümsemelerin lezzet verdiği doyurucu bir kederle koşturuyoruz, bize bilinmez kollarını ağız dolusu gülerek açmış bekleyen, kocaman bir sıfıra...
Belli belirsiz kederliyim, yağmur pencerelere kararsız birler çiziyor dışarıda...
Re: Oyun(lar) Teorisi Nasıl Doğdu?
OYUN TEORİSİ
Oyun mu, Teori mi?
Akademik araştırmalarda kullanım alanları yaygınlaştıkça önemi anlaşılan bu araç, 1990’lardan itibaren Amerika’da yaygın olarak uygulanmaya başlandı. Özellikle ekonomi alanında ihale düzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geniş bir uygulama alanı ortaya çıktı.
Türkiye’de oyun teorisi ancak son yıllarda akademik olduğu kadar günlük hayatta da- özellikle de Akıl Oyunları adlı filmin ülkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi odağı oldu. Aslında, modern oyun teorisi bugün karsımıza çıkan şekline uzun bir gelişme sürecinden sonra ulaştı. Bu sürece kısaca göz atmak “Oyun Teorisi” isminin nereden geldiğini anlamamıza yardımcı olabilir.
Satranç, poker, briç gibi oyunlarda oyuncuların davranışlarını modellemek ve akılcı strateji seçimleri üzerine çalışan Macar asıllı Amerikalı John von Neuman, oyunlar üzerine ilk makalesini 1928 yılında yayınladı. Hidrojen bombası ve ilk bilgisayarın mucitlerinden sayılan bu dahi matematikçi, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern ile birlikte, oyun teorisini 1944 yılında basılan “Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış” isimli kitaplarında ilk defa ekonomi alanına taşıdılar. Bu kitapta iki oyunculu, sıfır toplamlı oyunları ve işbirlikçi oyunları incelediler. John F. Nash, 1950-53 yılları arasında yayınladığı dört çalışması ile oyun teorisini geliştirdi ve hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkardı. Halen oyun teorisinin ağır yükünü onun ortaya attığı Nash dengesi çekmektedir. Martin Shubik 1959 basımlı “Strateji ve Pazar Yapısı: Rekabet, Oligopol ve Oyun Teorisi” kitabında rekabetçi oyun teorisini ilk defa oligopollere uyguladı. 1965te Reinhard Selten, Nash dengesini yaygın biçimdeki oyunlarda (oyuncuların sıra ile stratejilerini seçtikleri oyunlar) kullanılabilecek şekilde geliştirdi. Üç seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-68 yıllarında teorinin oyuncuların eksik bilgi sahibi olduğu oyunlara nasıl uygulanabileceğini gösterdi.
Gittikçe gelişen, dallanıp budaklanan oyunlar teorisi, ekonomi bilimi için olduğu kadar, hukuk, politika, işletme, uluslararası ilişkiler ve hatta biyoloji gibi bilimler için de vazgeçilmez bir matematiksel araç oldu. Ekonomide, özellikle de endüstriyel organizasyon alanında teorik gelişmelere yol açtı ve yön verdi. Oyun teorisi aynı zamanda stratejik karşılaşmaların incelenmesinde standart bir dil haline geldi.
Biraz Terminoloji
Oyun teorisi: özellikle sosyal bilimlerde stratejik karşılaşmaları modellemeye yarayan matematiksel bir araçtır.
Stratejik karşılaşmalar: oyuncuların getirileri birbirlerinin hareketlerinden karşılıklı olarak etkilendiği çekişme ya da çatışmalar.
Statik oyunlar: oyuncuların bir defaya mahsus olmak üzere oynadıkları oyunlar.
Akılcılık: her oyuncunun kendi kazancını maksimize etmeye çalışması.
Akılcılığın ortak bilgi olması: Tüm oyuncular kendilerinin ve rakiplerinin akılcı olduğunu bilir, rakiplerinin de kendilerinin bu bilgiye sahip olduklarını bildiklerini bilir ve bunun gibi sonsuza giden bir mantık zincirinin var olduğu varsayımı.
Kusurlu bilgili oyunlar (games with imperfect information): oyuncuların birbirlerinin strateji seçimlerini göremedikleri ve sanki aynı anda karar veriyorlarmış gibi oynadıkları oyun.
Eksik bilgili oyunlar (games with incomplete information): oyunculardan bir ya da daha fazlasının diğer oyuncunun ya da oyuncuların getirilerini bilmeden oynadıkları oyun.
Sıfır toplamlı oyun: bir oyuncunun kazancının, diğer oyuncunun kaybına eşit olduğu oyun (poker, tenis vb.).
Statik Oyunlar
Karmaşık matematiksel hesaplara girmeden oyun teorisinin mantığını anlamak için en basit oyunlar olan statik, yani oyuncuların stratejilerini aynı anda seçtikleri oyunları incelemek yeterli olabilir. Stratejik bir karşılaşmayı oyun teorisi ile incelemek için ise, önce bu çatışmanın bir oyun olarak tanımlanması gerekir.
Bir oyunun tanımı üç temel öğeye dayanır:
Oyuncular kümesi (I): Oyuncuların yer aldığı küme. Bu oyuncular kurgulanan oyuna ve modellenen duruma göre kişiler, şirketler, devletler ve hatta hayvanlar olabilir. Oyuncu sayısı ise ikiden sonsuza kadar olabilir. (Bu makalede iki oyunculu oyunlardan bahsedilecektir.)
Eylem (hareket) kümesi (A): Her bir oyuncuya ait bütün olası eylem seçeneklerinin yer aldığı küme. Örneğin, bir firma için ürün fiyatı seçenekleri ile bir hareket kümesi oluşturulabilir. Eylem kümesi de sonsuz sayıda elemana sahip olabilir. (Bu makalede ağırlıklı olarak her oyuncu için sınırlı sayıda eylem seçeneği olan oyunlardan bahsedilecektir.)
Getiriler: Bütün oyuncuların her türlü olası strateji kombinasyonu için her oyuncunun oyun sonunda elde edeceği kazancı ya da kaybı. Bu getiriler parasal olarak tanımlanabileceği gibi her oyuncu için fayda fonksiyonları ile de belirtilebilir. (Tabii ki biyoloji gibi alanlarda bu tip getirilerden bahsetmek olanaksızdır. İki hayvan türünün çatıştıkları oyunlarda, her türün yavru sayısı o türün getirisi olarak alınabilir.)
Statik oyun örneklerine ve çözüm tekniklerine girmeden önce, önemli bir takım varsayımlardan bahsetmekte fayda vardır.
Statik Oyun Varsayımları:
i) Oyuncular eylem seçimlerini aynı anda ya da birbirlerinin haberi olmadan yaparlar.
ii) Tüm oyuncular akılcıdır.
iii) Tüm oyuncuların akılcılığı ortak bilgidir.
iv) Tüm oyuncular kusursuz fakat eksik bilgiye sahiptir.
Basit bir kaç senaryoya bakılarak bu üç öğeye göre statik bir oyunun tanımının nasıl yapılacağı daha açık olarak anlaşılabilir.
Tutukluların İkilemi (Prisoners’ Dilemma)
Bir soygun soruşturması sonucu Ali ve Veli isimli iki şüpheli yakalanmış ve ayrı odalarda ilk sorgulamalarının yapılmasını beklemektedirler. Güvenlik güçleri bu iki tutukluya bir anlaşma paketi önerir. Bu öneriye göre ikisi de suçu itiraf ederse beşer yıl, ikisi de reddederse ikişer yıl hapis cezası yiyeceklerdir. Eğer birisi itiraf, diğeri reddederse itirafçı serbest kalacak ve arkadaşı on yıl hapis cezası yiyecektir. Oyunun tanımı bu bilgilere göre yapılabilir.
1) I = {Ali, Veli}
2) Ai = {İtiraf, Red}, i = Ali, Veli
3) Bu oyunun her olası sonucu için getirileri bir getiri (kazanç) matrisi ile gösterilebilir:
Veli
İtiraf
Red
İtiraf
-5, -5
0, -10
Red
-10, 0
-2, -2
Ali
Dikkat edilecek nokta, yukarıdaki getiri matrisindeki kazançların negatif olmasıdır. Çünkü bu oyunda getiriler hapiste geçirilecek olan yıllardır. Her hücredeki ilk rakam satır oyuncusunun (Ali), ikincisi ise kolon oyuncusunun (Veli) getirileridir.
Bu stratejik çatışmada birbirleriyle iletişim kuramayan, akılcı tutukluların nasıl karar vereceklerini bilimsel bir yaklaşımla incelemek için, Nash dengesinden faydalanabiliriz.
Nash Dengesi : Nash dengesi kendine zorlayan (self enforcing) bir denge kavramıdır. Bu dengede, hiçbir oyuncu rakip oyuncunun eylemi sabit alındığında kendi seçimini değiştirmek istemez. Bir başka deyişle, hiçbir oyuncu, rakip oyuncunun stratejisi sabit alındığında, kendi eylemini değiştirerek kazancını arttıramaz.
Tutukluların ikilemi gibi 2x2 bir kazanç matrisi olan oyunlarda Nash dengesini (eğer varsa) bulmak çok kolaydır. Bunun için matrisin bütün hücrelerine tek tek bakmak yeterli olacaktır:
Veli’nin İtiraf eylemi sabit tutulursa, Ali’nin yapabileceği en iyi seçim İtiraf etmektir. Çünkü, itiraf ederse 5, etmezse 10 yıl yatacaktır. Veli’nin Red eylemi sabit tutulduğunda, Ali’nin en iyi seçimi yine İtiraf olacaktır. Çünkü Ali serbest kalmayı, 2 yıl hapse yeğleyecektir. Yani, Veli ne yaparsa yapsın itiraf etmek Ali için dominant bir stratejidir. Veli için de aynı durum söz konusudur. Akılcı oyuncular ayrı odalarda, birbirlerinin nasıl davranacaklarını düşünürken ulaştıkları sonuç olan (itiraf, itiraf) gerçekten oyunun Nash dengesini verir, çünkü ne Ali ne de Veli rakibin itiraf stratejisi karşısında kendi itiraf stratejilerini değiştirmek istemezler. Oysa her ikisi de, beşer yıl yerine ikişer yıl hapis yatmayı tercih ederler. Bu tercihlerine rağmen, akılcı oldukları ve akılcılığın genel bilgi olduğu için işbirlikçi sonucu (Red, Red) elde edemezler. Oyunun ismindeki ikilem sözcüğü buradan kaynaklanmaktadır.
Bu oyun, oyuncuların dominant stratejilerine bakılarak da çözülebilir. Akılcı bir oyuncu domine edilen bir stratejiyi kesinlikle oynamayacaktır. Her iki oyuncunun da dominant stratejisi İtiraf etmektir. İtiraf stratejisi, Red seçimini domine eder. Akılcı Ali ile Veli Red stratejisini hiç düşünmeyeceklerdir bile. Dolayısıyla dominant stratejilerde denge de Nash dengesi ile aynı sonucu (itiraf, itiraf) verir. Bu şaşılacak bir sonuç değildir, zira her dominant strateji dengesi aynı zamanda Nash dengesidir. Fakat her Nash dengesi dominant stratejilerde denge olmayabilir.
İşbirliği ile rekabet arasında bir gerilim bulunan her stratejik karşılaşmanın özünde bu tip bir ikilem yatar. Bu yüzden bu tip oyunlar genel olarak tutukluların ikilemi oyun kategorisine girerler. Fiyat rekabetine giren iki firma arasındaki yüksek fiyat, düşük fiyat seçimi tutukluların ikilemine bir örnek teşkil edebilir. İki firma da yüksek fiyatı tercih eder, fakat rakip yüksek fiyat uyguladığında en iyi seçim fiyatı kırıp rakibin pazar payını kapmak olabilir. Bu tip düşünen akılcı firmalar bir ikilemle karşılaşırlar, çünkü bu fiyatlandırma oyununun da Nash dengesinde kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışan firmalar fiyat savaşına girerler.
Her statik oyunda böyle bir ikilem söz konusu olmaz. Oyuncuların hareketlerini koordine etmek durumunda kaldığı oyunlar da vardır. Bu tip oyunlar için de standart örnek Kadın-Erkek Çekişmesi oyunudur. Bu örnek de tutukluların ikilemi gibi birçok ekonomik oyuna baz oluşturmuştur.
Kadın-Erkek Çekişmesi (Battle of the Sexes)
Sertab Erener ve Sezen Aksu aynı anda, değişik konser salonlarında konser verecektir. Yeni evli Ahmet Bey ve eşi Ayşe Hanım birbirleriyle iletişim imkanı olmadan aynı anda bilet alacaklardır. Bu oyunun kazanç matrisi aşağıdaki gibi verilmiştir:
Ayşe
Erener
Aksu
Erener
2, 1
0, 0
Aksu
0, 0
1, 2
Ahmet
Yukarıdaki matristen de anlaşılacağı gibi çiftimiz bir konsere beraber gitmeyi, tek başlarına ayrı konserler seyretmeye tercih ederler. Çünkü, tek başlarına gittikleri konserden 0 fayda alacaklardır. Ahmet Bey hanımıyla birlikte Erener konserine gitmeyi, Aksu konserine yeğler. Ayşe Hanım ise beyi ile Aksu konserinde olmaktan daha mutlu olacaktır.
Ayşe Hanımın Erener seçimi sabitken, Ahmet Beyin yapabileceği en iyi seçim Erener konseridir. Böylelikle 0 fayda yerine 2 fayda kazanmış olur. Ayşe Hanımın Aksu seçimi sabitken ise Ahmet Bey de Aksu seçimini vazgeçilmez bulur. Böylece 0 fayda yerine en azından 1 fayda elde etmiş olur. Yani Ahmet Beyin dominant bir stratejisi yoktur. Aynı durum Ayşe Hanım için de geçerlidir. İki oyuncunun da Bu oyunun Nash dengesini(lerini) bulmak için de kazanç matrisinin hücrelerine tek tek bakabiliriz.
Ayşe Hanımın Erener seçimi sabit tutulduğunda, Ahmet Bey de Erener’i seçecektir. Ahmet Beyin Erener stratejisi sabitken, Ayşe Hanım da Erener’i tercih edecektir. Dolayısıyla (Erener, Erener) bu oyunda bir Nash dengesidir. (Erener, Aksu), (Aksu, Erener) sonuçları ise Nash dengesi olamazlar, çünkü iki oyuncu da birlikte konsere gitmeyi yeğlerler. Oyunculara tek tek bakıldığında, eşinin seçimi sabitken, kendi stratejisini değiştirerek kazancını sıfırdan pozitife çevirebilir. (Aksu, Aksu) sonucu da bir Nash dengesidir, çünkü hiçbir oyuncu eşinin Aksu seçimi sabitken başka bir stratejiyi seçmek istemez. Kadın-Erkek çatışması oyununun iki Nash dengesi vardır: (Erener, Erener) ve (Aksu, Aksu). Oyuncuların seçimlerini nasıl koordine edip hangi konsere gideceklerini ise bulamayız, çünkü oyuncular seçimlerini aynı anda yaparlar ve bu esnada diğerinin seçiminden habersizdirler.
Örneğimizi biraz değiştirerek, birden fazla Nash dengesinin bulunduğu oyunlarda hangi dengenin oyunun sonucu olabileceğine ışık tutabiliriz.
30 Yıllık Evlilik Sonrası Kadın-Erkek Çekişmesi
Sevgili çiftimiz 30 yıl evli kaldıktan sonra, yine benzer bir koordinasyon problemiyle karşı karşıya gelirler. Uzun evlilik döneminden sonra bile birlikte sosyalleşmeyi, yalnız başlarına gezmeye tercih ederler. Fakat, yaşları ilerlediği için, konser yerine opera ya da sinema seçimlerini değerlendireceklerdir. Ayrıca, Ahmet Bey bu sefer operadan daha fazla fayda almaktadır. Kazanç matrisimiz aşağıdaki gibidir:
Ayşe
Opera
Sinema
Opera
3, 1
0, 0
Sinema
0, 0
1, 2
Ahmet
Bu değiştirilmiş Kadın-Erkek çatışması örneğinde de aynı iki Nash dengesi vardır: (Opera, Opera) ve (Sinema, Sinema). Fakat bu kez oyunun sonucu için bir şeyler söyleyebiliriz. Ahmet Beyin birlikte operaya gitmekten daha fazla fayda alacağını bilen Ayşe Hanım seçimini operadan yana kullanabilir. Eşinin bunu bildiğini bilen Ahmet Bey de operayı seçer. Bu yaklaşımla oyunun sonucu (opera, opera) Nash dengesi olmaya daha yakın görünür.
Birden fazla Nash dengesine sahip bir oyunda, eğer oyuncular bu tip ortak bir bilgiye sahipse oyunun sonucu olarak tek bir Nash dengesi önerilebilir. Buna odak noktası (focal point) denir. Odak noktası kavramını ilk kez Schelling 1960 yılında “Çatışma Stratejisi” (The Strategy of Conflict) kitabında ortaya atmıştır.
Odak noktası kavramını daha anlaşılır kılmak için ODTÜ İşletme Bölümünün hocalarından Profesör doktor sayın Muhan Soysal’a atfedilen bir anekdot faydalı olacaktır.
Hangisi?
İki öğrenci hafta sonu bir partiye katılmak için İstanbul’a giderler. Amaçları iyi bir eğlenceden sonra Pazar günü Ankara’ya dönerek, Muhan Beyin Pazartesi sabah yapılacak sınavına hazırlanmaktır. Cumartesi gecesi eğlence uzun sürer, ertesi gün geç kalkılır ve Ankara’ya dönüldüğünde sınava hazırlanacak zaman kalmamıştır. İki kafadar süklüm püklüm Muhan Beyin yanına giderler. Pazar günü İstanbul’dan dönerken arabanın tekerleğinin patladığını, onunla uğraşırken geç kalıp yeterince çalışamadıklarını anlatırlar. Muhan Bey biraz düşündükten sonra iki öğrencinin sınavını ertesi sabaha ertelemeyi kabul eder. Pazartesi gününü iyice çalışarak geçiren öğrenciler, Salı sabahı bir sürprizle karşılaşırlar. Muhan Bey öğrencileri ayrı sınıflarda oturtur ve soruları verir. İlk soru 10 puanlıktır ve zaten iyi çalışmış öğrenciler kolaylıkla yanıtlarlar. Sınavın ikinci sayfasında ise 90 puanlık tek bir soru vardır: Hangi tekerlek?
Yanıt için dört alternatif vardır. Tek sorun ikisinin de aynı yanıtı verebilmek için seçimlerini koordine etmeleridir. Ayrı sınıflarda oturdukları için işaret ya da konuşma söz konusu değildir. Akılcı bir öğrenci arabanın sağ tarafının yol kenarına yakın olduğu için, yol kenarına düşmüş delici bir nesnenin üzerinden geçme olasılığının daha yüksek olduğunu düşünebilir. Bu durumda en akla yatkın seçenek sağ ön lastik olabilir. Fakat burada önemli olan, olasılığı yüksek olan alternatifi değil, diğer sınıfta terleyen arkadaşının nasıl davranacağını düşünmektir. Eğer bu yaklaşım biçimi her öğrenci için genel kabul görmüş bir kanı ise, akılcı öğrenciler aynı mantık yürütme ile sağ ön tekerleği seçerek yakalarını sıyırabilirler. Yani odak noktaya ulaşabilirler.
Diğer yandan bu iki kafadar, akılcı olsalardı, Muhan Bey gibi zeki ve yaratıcı bir hocanın başlarına böyle bir çorap örebileceğini tahmin edip, sınava girmeden hangi tekerleğin patlamış olabileceği konusunda anlaşmaya varmaları gerekirdi. Daha da önemlisi, akılcı öğrenciler sınava hazırlanmak için son günü beklemezdi! Belki de oyun teorisi hakkında hiç fikir sahibi olmadıkları için stratejik düşünme ve karar vermeye bilimsel ve sistematik bir yaklaşımla bakamamışlardır.
Bu yazı umarım okurlarına oyun teorisi ve stratejik karşılaşmalarda sistematik karar verme hakkında fikir vermiştir. Yazıyı okuduktan sonra siz iki öğrenci ile aynı duruma düşseydiniz hangi tekerleği seçerdiniz?
Kaynakça
1) McMillan, J. (1992), Games Strategies and Managers. Oxford University Press: New York.
2) Dixit, A. K. ve B/ J/ Nalebuff (1991), Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life. W. W. Norton & Company: New York.
3) McDonald, J. (1975) The Game of Business. Doubleday & Company, Inc.: New York.
4) Fudenberg, D. ve J. Tirole (1996) Game Theory. The MIT Press: Massachusetts.
put together by US
Oyun mu, Teori mi?
Akademik araştırmalarda kullanım alanları yaygınlaştıkça önemi anlaşılan bu araç, 1990’lardan itibaren Amerika’da yaygın olarak uygulanmaya başlandı. Özellikle ekonomi alanında ihale düzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geniş bir uygulama alanı ortaya çıktı.
Türkiye’de oyun teorisi ancak son yıllarda akademik olduğu kadar günlük hayatta da- özellikle de Akıl Oyunları adlı filmin ülkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi odağı oldu. Aslında, modern oyun teorisi bugün karsımıza çıkan şekline uzun bir gelişme sürecinden sonra ulaştı. Bu sürece kısaca göz atmak “Oyun Teorisi” isminin nereden geldiğini anlamamıza yardımcı olabilir.
Satranç, poker, briç gibi oyunlarda oyuncuların davranışlarını modellemek ve akılcı strateji seçimleri üzerine çalışan Macar asıllı Amerikalı John von Neuman, oyunlar üzerine ilk makalesini 1928 yılında yayınladı. Hidrojen bombası ve ilk bilgisayarın mucitlerinden sayılan bu dahi matematikçi, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern ile birlikte, oyun teorisini 1944 yılında basılan “Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış” isimli kitaplarında ilk defa ekonomi alanına taşıdılar. Bu kitapta iki oyunculu, sıfır toplamlı oyunları ve işbirlikçi oyunları incelediler. John F. Nash, 1950-53 yılları arasında yayınladığı dört çalışması ile oyun teorisini geliştirdi ve hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkardı. Halen oyun teorisinin ağır yükünü onun ortaya attığı Nash dengesi çekmektedir. Martin Shubik 1959 basımlı “Strateji ve Pazar Yapısı: Rekabet, Oligopol ve Oyun Teorisi” kitabında rekabetçi oyun teorisini ilk defa oligopollere uyguladı. 1965te Reinhard Selten, Nash dengesini yaygın biçimdeki oyunlarda (oyuncuların sıra ile stratejilerini seçtikleri oyunlar) kullanılabilecek şekilde geliştirdi. Üç seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-68 yıllarında teorinin oyuncuların eksik bilgi sahibi olduğu oyunlara nasıl uygulanabileceğini gösterdi.
Gittikçe gelişen, dallanıp budaklanan oyunlar teorisi, ekonomi bilimi için olduğu kadar, hukuk, politika, işletme, uluslararası ilişkiler ve hatta biyoloji gibi bilimler için de vazgeçilmez bir matematiksel araç oldu. Ekonomide, özellikle de endüstriyel organizasyon alanında teorik gelişmelere yol açtı ve yön verdi. Oyun teorisi aynı zamanda stratejik karşılaşmaların incelenmesinde standart bir dil haline geldi.
Biraz Terminoloji
Oyun teorisi: özellikle sosyal bilimlerde stratejik karşılaşmaları modellemeye yarayan matematiksel bir araçtır.
Stratejik karşılaşmalar: oyuncuların getirileri birbirlerinin hareketlerinden karşılıklı olarak etkilendiği çekişme ya da çatışmalar.
Statik oyunlar: oyuncuların bir defaya mahsus olmak üzere oynadıkları oyunlar.
Akılcılık: her oyuncunun kendi kazancını maksimize etmeye çalışması.
Akılcılığın ortak bilgi olması: Tüm oyuncular kendilerinin ve rakiplerinin akılcı olduğunu bilir, rakiplerinin de kendilerinin bu bilgiye sahip olduklarını bildiklerini bilir ve bunun gibi sonsuza giden bir mantık zincirinin var olduğu varsayımı.
Kusurlu bilgili oyunlar (games with imperfect information): oyuncuların birbirlerinin strateji seçimlerini göremedikleri ve sanki aynı anda karar veriyorlarmış gibi oynadıkları oyun.
Eksik bilgili oyunlar (games with incomplete information): oyunculardan bir ya da daha fazlasının diğer oyuncunun ya da oyuncuların getirilerini bilmeden oynadıkları oyun.
Sıfır toplamlı oyun: bir oyuncunun kazancının, diğer oyuncunun kaybına eşit olduğu oyun (poker, tenis vb.).
Statik Oyunlar
Karmaşık matematiksel hesaplara girmeden oyun teorisinin mantığını anlamak için en basit oyunlar olan statik, yani oyuncuların stratejilerini aynı anda seçtikleri oyunları incelemek yeterli olabilir. Stratejik bir karşılaşmayı oyun teorisi ile incelemek için ise, önce bu çatışmanın bir oyun olarak tanımlanması gerekir.
Bir oyunun tanımı üç temel öğeye dayanır:
Oyuncular kümesi (I): Oyuncuların yer aldığı küme. Bu oyuncular kurgulanan oyuna ve modellenen duruma göre kişiler, şirketler, devletler ve hatta hayvanlar olabilir. Oyuncu sayısı ise ikiden sonsuza kadar olabilir. (Bu makalede iki oyunculu oyunlardan bahsedilecektir.)
Eylem (hareket) kümesi (A): Her bir oyuncuya ait bütün olası eylem seçeneklerinin yer aldığı küme. Örneğin, bir firma için ürün fiyatı seçenekleri ile bir hareket kümesi oluşturulabilir. Eylem kümesi de sonsuz sayıda elemana sahip olabilir. (Bu makalede ağırlıklı olarak her oyuncu için sınırlı sayıda eylem seçeneği olan oyunlardan bahsedilecektir.)
Getiriler: Bütün oyuncuların her türlü olası strateji kombinasyonu için her oyuncunun oyun sonunda elde edeceği kazancı ya da kaybı. Bu getiriler parasal olarak tanımlanabileceği gibi her oyuncu için fayda fonksiyonları ile de belirtilebilir. (Tabii ki biyoloji gibi alanlarda bu tip getirilerden bahsetmek olanaksızdır. İki hayvan türünün çatıştıkları oyunlarda, her türün yavru sayısı o türün getirisi olarak alınabilir.)
Statik oyun örneklerine ve çözüm tekniklerine girmeden önce, önemli bir takım varsayımlardan bahsetmekte fayda vardır.
Statik Oyun Varsayımları:
i) Oyuncular eylem seçimlerini aynı anda ya da birbirlerinin haberi olmadan yaparlar.
ii) Tüm oyuncular akılcıdır.
iii) Tüm oyuncuların akılcılığı ortak bilgidir.
iv) Tüm oyuncular kusursuz fakat eksik bilgiye sahiptir.
Basit bir kaç senaryoya bakılarak bu üç öğeye göre statik bir oyunun tanımının nasıl yapılacağı daha açık olarak anlaşılabilir.
Tutukluların İkilemi (Prisoners’ Dilemma)
Bir soygun soruşturması sonucu Ali ve Veli isimli iki şüpheli yakalanmış ve ayrı odalarda ilk sorgulamalarının yapılmasını beklemektedirler. Güvenlik güçleri bu iki tutukluya bir anlaşma paketi önerir. Bu öneriye göre ikisi de suçu itiraf ederse beşer yıl, ikisi de reddederse ikişer yıl hapis cezası yiyeceklerdir. Eğer birisi itiraf, diğeri reddederse itirafçı serbest kalacak ve arkadaşı on yıl hapis cezası yiyecektir. Oyunun tanımı bu bilgilere göre yapılabilir.
1) I = {Ali, Veli}
2) Ai = {İtiraf, Red}, i = Ali, Veli
3) Bu oyunun her olası sonucu için getirileri bir getiri (kazanç) matrisi ile gösterilebilir:
Veli
İtiraf
Red
İtiraf
-5, -5
0, -10
Red
-10, 0
-2, -2
Ali
Dikkat edilecek nokta, yukarıdaki getiri matrisindeki kazançların negatif olmasıdır. Çünkü bu oyunda getiriler hapiste geçirilecek olan yıllardır. Her hücredeki ilk rakam satır oyuncusunun (Ali), ikincisi ise kolon oyuncusunun (Veli) getirileridir.
Bu stratejik çatışmada birbirleriyle iletişim kuramayan, akılcı tutukluların nasıl karar vereceklerini bilimsel bir yaklaşımla incelemek için, Nash dengesinden faydalanabiliriz.
Nash Dengesi : Nash dengesi kendine zorlayan (self enforcing) bir denge kavramıdır. Bu dengede, hiçbir oyuncu rakip oyuncunun eylemi sabit alındığında kendi seçimini değiştirmek istemez. Bir başka deyişle, hiçbir oyuncu, rakip oyuncunun stratejisi sabit alındığında, kendi eylemini değiştirerek kazancını arttıramaz.
Tutukluların ikilemi gibi 2x2 bir kazanç matrisi olan oyunlarda Nash dengesini (eğer varsa) bulmak çok kolaydır. Bunun için matrisin bütün hücrelerine tek tek bakmak yeterli olacaktır:
Veli’nin İtiraf eylemi sabit tutulursa, Ali’nin yapabileceği en iyi seçim İtiraf etmektir. Çünkü, itiraf ederse 5, etmezse 10 yıl yatacaktır. Veli’nin Red eylemi sabit tutulduğunda, Ali’nin en iyi seçimi yine İtiraf olacaktır. Çünkü Ali serbest kalmayı, 2 yıl hapse yeğleyecektir. Yani, Veli ne yaparsa yapsın itiraf etmek Ali için dominant bir stratejidir. Veli için de aynı durum söz konusudur. Akılcı oyuncular ayrı odalarda, birbirlerinin nasıl davranacaklarını düşünürken ulaştıkları sonuç olan (itiraf, itiraf) gerçekten oyunun Nash dengesini verir, çünkü ne Ali ne de Veli rakibin itiraf stratejisi karşısında kendi itiraf stratejilerini değiştirmek istemezler. Oysa her ikisi de, beşer yıl yerine ikişer yıl hapis yatmayı tercih ederler. Bu tercihlerine rağmen, akılcı oldukları ve akılcılığın genel bilgi olduğu için işbirlikçi sonucu (Red, Red) elde edemezler. Oyunun ismindeki ikilem sözcüğü buradan kaynaklanmaktadır.
Bu oyun, oyuncuların dominant stratejilerine bakılarak da çözülebilir. Akılcı bir oyuncu domine edilen bir stratejiyi kesinlikle oynamayacaktır. Her iki oyuncunun da dominant stratejisi İtiraf etmektir. İtiraf stratejisi, Red seçimini domine eder. Akılcı Ali ile Veli Red stratejisini hiç düşünmeyeceklerdir bile. Dolayısıyla dominant stratejilerde denge de Nash dengesi ile aynı sonucu (itiraf, itiraf) verir. Bu şaşılacak bir sonuç değildir, zira her dominant strateji dengesi aynı zamanda Nash dengesidir. Fakat her Nash dengesi dominant stratejilerde denge olmayabilir.
İşbirliği ile rekabet arasında bir gerilim bulunan her stratejik karşılaşmanın özünde bu tip bir ikilem yatar. Bu yüzden bu tip oyunlar genel olarak tutukluların ikilemi oyun kategorisine girerler. Fiyat rekabetine giren iki firma arasındaki yüksek fiyat, düşük fiyat seçimi tutukluların ikilemine bir örnek teşkil edebilir. İki firma da yüksek fiyatı tercih eder, fakat rakip yüksek fiyat uyguladığında en iyi seçim fiyatı kırıp rakibin pazar payını kapmak olabilir. Bu tip düşünen akılcı firmalar bir ikilemle karşılaşırlar, çünkü bu fiyatlandırma oyununun da Nash dengesinde kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışan firmalar fiyat savaşına girerler.
Her statik oyunda böyle bir ikilem söz konusu olmaz. Oyuncuların hareketlerini koordine etmek durumunda kaldığı oyunlar da vardır. Bu tip oyunlar için de standart örnek Kadın-Erkek Çekişmesi oyunudur. Bu örnek de tutukluların ikilemi gibi birçok ekonomik oyuna baz oluşturmuştur.
Kadın-Erkek Çekişmesi (Battle of the Sexes)
Sertab Erener ve Sezen Aksu aynı anda, değişik konser salonlarında konser verecektir. Yeni evli Ahmet Bey ve eşi Ayşe Hanım birbirleriyle iletişim imkanı olmadan aynı anda bilet alacaklardır. Bu oyunun kazanç matrisi aşağıdaki gibi verilmiştir:
Ayşe
Erener
Aksu
Erener
2, 1
0, 0
Aksu
0, 0
1, 2
Ahmet
Yukarıdaki matristen de anlaşılacağı gibi çiftimiz bir konsere beraber gitmeyi, tek başlarına ayrı konserler seyretmeye tercih ederler. Çünkü, tek başlarına gittikleri konserden 0 fayda alacaklardır. Ahmet Bey hanımıyla birlikte Erener konserine gitmeyi, Aksu konserine yeğler. Ayşe Hanım ise beyi ile Aksu konserinde olmaktan daha mutlu olacaktır.
Ayşe Hanımın Erener seçimi sabitken, Ahmet Beyin yapabileceği en iyi seçim Erener konseridir. Böylelikle 0 fayda yerine 2 fayda kazanmış olur. Ayşe Hanımın Aksu seçimi sabitken ise Ahmet Bey de Aksu seçimini vazgeçilmez bulur. Böylece 0 fayda yerine en azından 1 fayda elde etmiş olur. Yani Ahmet Beyin dominant bir stratejisi yoktur. Aynı durum Ayşe Hanım için de geçerlidir. İki oyuncunun da Bu oyunun Nash dengesini(lerini) bulmak için de kazanç matrisinin hücrelerine tek tek bakabiliriz.
Ayşe Hanımın Erener seçimi sabit tutulduğunda, Ahmet Bey de Erener’i seçecektir. Ahmet Beyin Erener stratejisi sabitken, Ayşe Hanım da Erener’i tercih edecektir. Dolayısıyla (Erener, Erener) bu oyunda bir Nash dengesidir. (Erener, Aksu), (Aksu, Erener) sonuçları ise Nash dengesi olamazlar, çünkü iki oyuncu da birlikte konsere gitmeyi yeğlerler. Oyunculara tek tek bakıldığında, eşinin seçimi sabitken, kendi stratejisini değiştirerek kazancını sıfırdan pozitife çevirebilir. (Aksu, Aksu) sonucu da bir Nash dengesidir, çünkü hiçbir oyuncu eşinin Aksu seçimi sabitken başka bir stratejiyi seçmek istemez. Kadın-Erkek çatışması oyununun iki Nash dengesi vardır: (Erener, Erener) ve (Aksu, Aksu). Oyuncuların seçimlerini nasıl koordine edip hangi konsere gideceklerini ise bulamayız, çünkü oyuncular seçimlerini aynı anda yaparlar ve bu esnada diğerinin seçiminden habersizdirler.
Örneğimizi biraz değiştirerek, birden fazla Nash dengesinin bulunduğu oyunlarda hangi dengenin oyunun sonucu olabileceğine ışık tutabiliriz.
30 Yıllık Evlilik Sonrası Kadın-Erkek Çekişmesi
Sevgili çiftimiz 30 yıl evli kaldıktan sonra, yine benzer bir koordinasyon problemiyle karşı karşıya gelirler. Uzun evlilik döneminden sonra bile birlikte sosyalleşmeyi, yalnız başlarına gezmeye tercih ederler. Fakat, yaşları ilerlediği için, konser yerine opera ya da sinema seçimlerini değerlendireceklerdir. Ayrıca, Ahmet Bey bu sefer operadan daha fazla fayda almaktadır. Kazanç matrisimiz aşağıdaki gibidir:
Ayşe
Opera
Sinema
Opera
3, 1
0, 0
Sinema
0, 0
1, 2
Ahmet
Bu değiştirilmiş Kadın-Erkek çatışması örneğinde de aynı iki Nash dengesi vardır: (Opera, Opera) ve (Sinema, Sinema). Fakat bu kez oyunun sonucu için bir şeyler söyleyebiliriz. Ahmet Beyin birlikte operaya gitmekten daha fazla fayda alacağını bilen Ayşe Hanım seçimini operadan yana kullanabilir. Eşinin bunu bildiğini bilen Ahmet Bey de operayı seçer. Bu yaklaşımla oyunun sonucu (opera, opera) Nash dengesi olmaya daha yakın görünür.
Birden fazla Nash dengesine sahip bir oyunda, eğer oyuncular bu tip ortak bir bilgiye sahipse oyunun sonucu olarak tek bir Nash dengesi önerilebilir. Buna odak noktası (focal point) denir. Odak noktası kavramını ilk kez Schelling 1960 yılında “Çatışma Stratejisi” (The Strategy of Conflict) kitabında ortaya atmıştır.
Odak noktası kavramını daha anlaşılır kılmak için ODTÜ İşletme Bölümünün hocalarından Profesör doktor sayın Muhan Soysal’a atfedilen bir anekdot faydalı olacaktır.
Hangisi?
İki öğrenci hafta sonu bir partiye katılmak için İstanbul’a giderler. Amaçları iyi bir eğlenceden sonra Pazar günü Ankara’ya dönerek, Muhan Beyin Pazartesi sabah yapılacak sınavına hazırlanmaktır. Cumartesi gecesi eğlence uzun sürer, ertesi gün geç kalkılır ve Ankara’ya dönüldüğünde sınava hazırlanacak zaman kalmamıştır. İki kafadar süklüm püklüm Muhan Beyin yanına giderler. Pazar günü İstanbul’dan dönerken arabanın tekerleğinin patladığını, onunla uğraşırken geç kalıp yeterince çalışamadıklarını anlatırlar. Muhan Bey biraz düşündükten sonra iki öğrencinin sınavını ertesi sabaha ertelemeyi kabul eder. Pazartesi gününü iyice çalışarak geçiren öğrenciler, Salı sabahı bir sürprizle karşılaşırlar. Muhan Bey öğrencileri ayrı sınıflarda oturtur ve soruları verir. İlk soru 10 puanlıktır ve zaten iyi çalışmış öğrenciler kolaylıkla yanıtlarlar. Sınavın ikinci sayfasında ise 90 puanlık tek bir soru vardır: Hangi tekerlek?
Yanıt için dört alternatif vardır. Tek sorun ikisinin de aynı yanıtı verebilmek için seçimlerini koordine etmeleridir. Ayrı sınıflarda oturdukları için işaret ya da konuşma söz konusu değildir. Akılcı bir öğrenci arabanın sağ tarafının yol kenarına yakın olduğu için, yol kenarına düşmüş delici bir nesnenin üzerinden geçme olasılığının daha yüksek olduğunu düşünebilir. Bu durumda en akla yatkın seçenek sağ ön lastik olabilir. Fakat burada önemli olan, olasılığı yüksek olan alternatifi değil, diğer sınıfta terleyen arkadaşının nasıl davranacağını düşünmektir. Eğer bu yaklaşım biçimi her öğrenci için genel kabul görmüş bir kanı ise, akılcı öğrenciler aynı mantık yürütme ile sağ ön tekerleği seçerek yakalarını sıyırabilirler. Yani odak noktaya ulaşabilirler.
Diğer yandan bu iki kafadar, akılcı olsalardı, Muhan Bey gibi zeki ve yaratıcı bir hocanın başlarına böyle bir çorap örebileceğini tahmin edip, sınava girmeden hangi tekerleğin patlamış olabileceği konusunda anlaşmaya varmaları gerekirdi. Daha da önemlisi, akılcı öğrenciler sınava hazırlanmak için son günü beklemezdi! Belki de oyun teorisi hakkında hiç fikir sahibi olmadıkları için stratejik düşünme ve karar vermeye bilimsel ve sistematik bir yaklaşımla bakamamışlardır.
Bu yazı umarım okurlarına oyun teorisi ve stratejik karşılaşmalarda sistematik karar verme hakkında fikir vermiştir. Yazıyı okuduktan sonra siz iki öğrenci ile aynı duruma düşseydiniz hangi tekerleği seçerdiniz?
Kaynakça
1) McMillan, J. (1992), Games Strategies and Managers. Oxford University Press: New York.
2) Dixit, A. K. ve B/ J/ Nalebuff (1991), Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life. W. W. Norton & Company: New York.
3) McDonald, J. (1975) The Game of Business. Doubleday & Company, Inc.: New York.
4) Fudenberg, D. ve J. Tirole (1996) Game Theory. The MIT Press: Massachusetts.
put together by US